Zur Berechnung von
Dreiecken stehen 6 Bestimmungsgrößen (3 Seitenlängen,
3 Eckwinkel) zur Verfügung, von denen drei bekannt sein müssen.
Der Beitrag stellt Programme für den HP-Taschenrechner zur Verfügung.
Die Berechnung von
Dreiecken aus den Koordinatenwerten der Eckpunkte mit
Hilfe von Vektoren ist im PDF-Dokument "Digitale geometrische Modelle (DGM)" (Lesekennwort: Praxelius.de) beschrieben.
Verfasser: Otto Praxl
Mit Dreiecken haben sich schon Generationen von Mathematikern beschäftigt. Am bekanntesten sind die Arbeiten von Euklid, dem bekannten griechischen Mathematiker, der um 300 vor Chr. in Alexandria lehrte. Er schrieb "Die Elemente", ein Werk von insgesamt 13 Büchern, in dem die Elemente der Geometrie behandelt sind (Definitionen, Postulate, Axiome, Beweise). Die Dreiecke werden im "Ersten Buch" behandelt. Dort ist übrigens auch der Lehrsatz des Pythagoras (um 576 - 496 v. Chr.) bewiesen. Die Euklidsche Geometrie wird mit den "Elementen" begründet.
"Die Elemente" von Euklid sind in deutscher Übersetzung in jeder guten wissenschaftlichen Buchhandlung erhältlich (z. B. als reprografische Nachdrucke von "Oswald's Klassikern der exakten Wissenschaften" oder nach Heibergs Text aus dem Griechischen übersetzt von Clemens Thaer).
Auch im Geometrieunterricht in den Schulen spielt die Berechnung von Dreiecken eine wichtige Rolle. Die Trigonometrie mit ihren Lehrsätzen baut auf Dreiecken auf. In der Landesvermessung werden Dreiecksnetze (z.B. Deutsches Hauptdreiecksnetz) mit trigonometrischen Festpunkten nach Verfahren der Triangulation als Grundlagen der amtlichen Vermessung aufgebaut.
Im nachfolgenden Beitrag werden Programme für die Berechnung von Dreiecken mit dem HP-Taschenrechner zur Verfügung gestellt. Die geometrischen und mathematischen Grundlagen werden beim Leser vorausgesetzt. Deshalb werden die verwendeten Formeln lediglich erwähnt, aber nicht im Einzelnen hergeleitet.
Für die Dreiecksberechnungen mit dem HP-Taschenrechner sollen hier die Dreiecke aus Seitenlängen und Winkelangaben berechnet werden.
Ein Dreieck hat 3 Seiten und 3 Winkel. Zur eindeutigen Berechnung eines Dreiecks müssen von diesen 6 Bestimmungsgrößen mindestens 3 bekannt sein.
Es gibt 6 mögliche Kombinationen (S = Seite, A = Winkel)
1. SSS
drei Seitenlängen2. SAA
eine Seitenlänge und
zwei aufeinanderfolgende Winkel3. SAS
zwei Seitenlängen und
der dazwischenliegende Winkel4. ASA
eine Seitenlänge mit
zwei anliegenden Winkeln5. AAA
drei Winkel6. ASS
ein Winkel und
zwei aufeinanderfolgende SeitenlängenDie beiden letzten Fälle sind nicht eindeutig bestimmbar:
- Im Fall 5 des Dreiecks mit drei Winkeln ergibt sich lediglich die Form des Dreiecks, wegen Fehlens von Längenmaßen können Längen und Flächeninhalt nicht ermittelt werden.
- Im Fall 6 ergeben sich keine, eine oder zwei verschiedene Lösungen, je nach Größe des Winkels und der Länge der Seiten.
Für den Taschenrechner werden die Fälle 1 bis 4 aufbereitet.
Um bei der Berechnung den meisten Fehlermeldungen auszuweichen, sollte man einstellen:
Zuerst den Modus auf RPN stellen:
Mit [MODE] ins Formular "CALCULATOR MODES" und dort die erste Zeile "Operating Mode .. " auf RPN stellen.Dann die anderen Flags einstellen:
- (Flag -2) = 1 (numerisches Ergebnis bei Konstanten)
- (Flag -3) = 1 (numerisches Ergebnis bei Funktionen)
- (Flag -20) = 0 ("Underflow" ergibt Null)
- (Flag -21) = 0 ("Overflow" ergibt ±9E499)
- (Flag -22) = 1 ("Unendlich" ergibt ±9E499)
- (Flag -90) = 1 (CHOOSE-Minifont)
- (Flag -105) = 1 (Näherungsmodus = reelle Zahlen)
- gewünschtes Winkelformat: DEG, GRAD oder RAD.
Dazu werden im RPN-Modus folgende Befehle eingegeben: {-2 -3 -22 -90 -105} SF {-20 -21 } CF
Mit dem Befehl DEG wird als Winkelformat Grad (°) eingestellt .
Die Programme werden als Programmverzeichnis DREIECK.txt zur Verfügung gestellt.
Die beiden folgenden Bilder zeigen die Menüs des Verzeichnisses DREIECK.
Das Verzeichnis DREIECK enthält ein Hauptprogramm DREIB (Dreiecksberechnung), das ein Auswahlmenü bietet, über das die vier Berechnungsprogramme SSS, SAA, SAS, ASA, das Auswahlmenü der Ergebnisanzeige ERGEB, das Auswahlmenü der Variablenbezeichnungen VARBEZ und die Grafikausgaben DRPL und BEZ aufgerufen werden können. Das Programm WFMT ist ein Hilfsprogramm, das innerhalb der Berechnungsprogramme das über die Flags eingestellte Winkelformat feststellt und die entsprechende Winkelsumme des Dreiecks in den Stack stellt.
Die Eingaben der Winkelwerte müssen im eingestellten Format erfolgen. Der Indikator in der linken oberen Ecke des Bildschirms zeigt die aktuelle Einstellung an. Jedes der Berechnungsprogramme kann auch für sich allein aufgerufen werden und liefert alle Ergebnisse.
Dieses Auswahlmenü enthält 8 Menüpunkte:
Über die ersten vier Menüpunkte können die Berechnungsprogramme SSS, ASA, SAS und SAA aufgerufen werden. Nun kann die Eingabe beginnen.
Nach dem Aufruf eines der vier Programme erfolgt über den INPUT-Befehl die Abfrage der benötigten Angaben über Seitenlängen und Winkel. Die Winkel müssen in dem in der linken oberen Bildschirmecke sichtbaren Winkelformat erfolgen. In den beiden obigen Bildern ist der Indikator DEG, also Grad (°), in der linken oberen Ecke sichtbar.
Jeder der drei erforderlichen Eingabewerte ist mit [ENTER] abzuschließen.
Nach dem dritten [ENTER] zeigt der Bildschirm so lange die Eingaben, bis das Ergebnis berechnet ist. Nach einiger Zeit erscheint eine Messagebox. Z.B. lautet die Meldung nach der SSS-Berechnung: "SSS-Berechnung: Ergebnisse siehe Menü!"
Die Ergebnisanzeige erfolgt über die "Ergebnisanzeige" des Auswahlmens DREIB oder direkt über das Programm ERGEB im Arbeitsverzeichnis. Alle angezeigten Werte sind auch in aktuellen Verzeichnis als Variablen vorhanden (siehe unten).
Der Menüpunkt Ergebnisplot in DREIB startet das Programm DRPL (=Dreieckplot). Der Plotvorgang fragt um die Erlaubnis zur Einstellung des Komplex-Modus, die man mit YES gewähren muss. Der Dreieckplot zeigt die Form des berechneten Dreiecks. Falls noch keine Berechnung vorausgegangen war und deshalb keine Werte vorliegen, wird eine Fehlermeldung ausgegeben.
Alle Ergebnisse und alle per Programm erzeugten Variablen kann man mit der Menüfunktion LOE aus dem aktuellen Verzeichnis löschen
Die üblichen Bezeichnungen des Dreiecks sind in der Grafik BEZ hinterlegt, diese kann über den Menüpunkt Bezeichnungen angezeigt werden (siehe Bild rechts). Die Seitenlängen werden a, b und c genannt.
Nach den üblichen Definitionen liegen den Seiten a, b und c die Eckpunkte A, B und C und die Winkel α , β und γ gegenüber.
Der Menüpunkt Variablen-Info zeigt die Bedeutung aller Variablen in einem Auswahlmenü.
Die folgenden drei Bilder zeigen die Ergebnisvariablen, die im aktuellen Verzeichnis hinterlegt werden.
- Drei Seitenlängen,
- drei Winkel
- Umfang U
- Flächeninhalt F
(der Flächeninhalt wird hier nicht mit A,
sondern mit F bezeichnet, damit
Verwechslungen mit dem Punkt A
bzw. der Seite a vermieden werden.)- Höhe ha auf Seite a
- Höhe hb auf Seite b
- Höhe hc auf Seite c
- Umkreisradius Ru des Dreiecks
- Inkreisradius Ri des Dreiecks
- Löschtaste LOE für alle Ergebnisvariablen.
Die restlichen Menüfelder
DREIB, SSS, SAA und SAS sind die
Programme, die ebenfalls im aktuellen Verzeichnis
DREIECK gespeichert sind.
Für die Berechnung von Dreiecken mit den vier Berechnungsprogrammen werden die bekannten Formeln aus der Formelkiste geholt:
- Winkelsumme des Dreiecks,
- Dreiecksungleichung,
- Heronische Formel
- Sinussatz,
- Cosinussatz.
- Die 3 Höhen des Dreiecks werden aus dem Flächeninhalt und den Seitenlängen berechnet.
- Der Umkreisradius Ru ergibt sich aus der halben Seitenlänge dividiert durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels.
- Der Inkreisradius Ri wird aus Flächeninhalt geteilt durch den halben Umfang berechnet: Ri = 2*F/U.
DRPL ist ein Programm zur Plotausgabe des berechneten Dreiecks. Es kann nur aufgerufen werden, wenn die Berechnung eines Dreiecks bereits erfolgt ist und die Ergebniswerte als Variable im aktuellen Verzeichnis vorhanden sind. Liegen keine Ergebniswerte zum Ausplotten vor, wird eine Fehlermeldung ausgegeben.
WFMT (Winkelformat) ist ein Hilfsprogramm, das durch die Berechnungsprogramme aufgerufen wird und die Winkelsumme eines Dreiecks in dem durch die Flags eingestellten Winkelformat in den Stack stellt:
- bei DEG: 180
- bei GRD: 200
- bei RAD: 3,14159265359
© 2001 - 2012 Otto Praxl. Alle Rechte vorbehalten (Erstveröffentlichung dieses Beitrags am 25.02.2001 auf der Praxelius-Homepage).
