Der Raumwinkel ist ein
räumliches Bogenmaß und hat die SI-Maßeinheit Steradiant (sr).
Der Raumwinkel wird u.a. dazu verwendet, Strahlungsleistungen von
Parabolantennen zu berechnen,
wenn die Sendeleistung, die sonst in alle Richtungen des
umgebenden Raumes abgegeben würde,
in einem Strahlungskegel konzentriert wird.
Der Beitrag enthält die Definition und die Formeln zur Anwendung.
Verfasser: Otto Praxl
- Bezeichnungen
- Definition des Raumwinkels
- Beliebige Form der Teilfläche
- Raumwinkel einer Kugelkappe (Kugelkalotte)
- Raumwinkel eines Strahlungskegels
- Raumwinkel eines Kugelrechtecks
- Aufgabe zum Raumwinkel
- Schlusswort
Ω Raumwinkel OK Gesamte Kugeloberfläche in m2 ΔOK Teilfläche aus der Kugeloberfläche in m2, für die der Raumwinkel zu bestimmen ist. M Kugelmittelpunkt r Radius der Kugel in m (z.B. Erde r = 6378009 m) h Höhe der Kugelkappe (siehe Bild 1): h = r · (1 - cos φ) φ Winkel zwischen der Achse der Kugelkappe und ihrem
Rand, vom Kugelmittelpunkt M aus gesehenS Strahlungsquelle = Transponder im Synchronsatelliten R Entfernung der Strahlungsquelle vom Kugelmittelpunkt M
Für Synchronsatelliten ist der Bahnradius R = 42162525 m.α Öffnungswinkel des Strahlungskegels b1 und b2 Bogenlängen in m der Mittellinien des Kugelrechtecks α1 und α2 Öffnungswinkel allgemein 1 und
Öffnungswinkel im Bogenmaß [rad]
Steradiant (sr) ist die abgeleitete SI-Einheit des räumlichen Winkels (Raumwinkel).
1 sr ist gleich dem räumlichen Winkel, der als gerader Kreiskegel mit der Spitze im Mittelpunkt einer Kugel vom Radius 1 m aus der Kugeloberfläche eine Kalotte (Kugelkappe) der Flächengröße von 1 m2 ausschneidet.
Der Raumwinkel Ω ist ein Verhältnismaß:
- Verhältnis der Teilfläche ΔOK zur Gesamtoberfläche OK , multipliziert mit 4π , oder
- Flächeninhalt ΔOK dividiert durch das Quadrat des Kugelradius (r2).
Die Maßeinheit ist die SI-Einheit Steradiant (sr). Sie ist eine reine Maßzahl (1 m2/1 m2) mit der Dimension 1.
Bei einer Kugel mit r = 1 m schneidet 1 sr genau 1 m2 von der Oberfläche heraus. Die Form dieser herausgeschnittenen Fläche kann beliebig sein.
Für die gesamte Oberfläche einer Kugel gilt definitionsgemäß der Raumwinkel Ω = 4πr2/r2 [sr] = 4π [sr]. Daraus folgt:
Steradiant ist ein räumliches Bogenmaß. Hier besteht eine gewisse Analogie zwischen dem Bogenmaß des Kreises und dem Raumwinkel der Kugel:
- Der Raumwinkel der gesamten Kugel beträgt 4π Steradiant (= gesamte Kugeloberfläche).
Allgemein gilt: Ω = ΔOK / r2, also
Raumwinkel = Teilfläche aus der Kugeloberfläche dividiert durch Quadrat des Kugelradius.- Das Bogenmaß des Gesamtkreises hat 2π Radiant (= gesamter Kreisumfang).
Allgemein gilt:
Winkel im Bogenmaß = Bogenlänge dividiert durch Kreiradius.
Die Teilfläche ΔOK aus der gesamten Kugeloberfläche OK kann eine beliebige Form haben.
Der Raumwinkel Ω dieser Fläche bezogen auf die Kugeloberfläche wird nach folgender Formel berechnet:
Ω = 4π · (ΔOK / OK)
oder
Ω = ΔOK / r2
Obwohl die Definition des Raumwinkels von einer beliebigen Form der Teilfläche ΔOK aus der gesamten Kugeloberfläche OK ausgeht, gibt es einige Sonderformen, bei denen sich der Raumwinkel sehr einfach berechnen lässt. Wir werden die Kugelkappe und das Kugelrechteck näher betrachten.
Eine Kugelkappe oder Kugelkalotte ist kreisförmiger Ausschnitt aus der Kugeloberfläche.
Die gewölbte Fläche der Kugelkappe ist ΔOK = 2πrh (aus Formelsammlung).
Daraus folgt: ΔOK = 2πrh = 2πr · r · (1 - cos φ). Siehe dazu Bild 1.
Setzen wir die Fläche ΔOK der Kugelkappe ins Verhältnis zur gesamten Kugeloberfläche OK = 4πr2, dann ergibt sich ΔOK / OK = (1 - cos φ) / 2
Der Raumwinkel der Kugelkappe ist:
Ω = 4π · ΔOK / OK = 2π (1 - cos φ)
Ω = 2π (1 - cos φ) = 2πh/r Beispiel:
Für eine Kugelkappe mit Ω = 1 sr folgt daraus: φ = arccos[(2π - 1)/2π] = 32,7705365851°
Der Winkel (Öffnungswinkel) an der Spitze (Kugelmittelpunkt M) des zugehörigen Kegels (Kugelsektor) ist 65,5410731702°.
Bei 1 sr gilt: r/h = 2π .
Wir betrachten einen Satelliten, der von seiner Position aus den für ihn sichtbaren Teil der Erdoberfläche "bestrahlen" soll (z.B. Wettersatellit METEOSAT).
Hier treten zwei Raumwinkel auf: Zu unterscheiden ist zwischen
- der Kugelkappe (Teil der Erdoberfläche, in Bild 1 grün markiert), die bestrahlt werden soll und
- der Öffnung des Strahlungskegels, der auf diese Kugelkappe begrenzt ist (in Bild 1gelb markiert ). Beim Strahlungskegel gibt es keine Kugeloberfläche, auf die man sich beziehen könnte. Hier wird der Raumwinkel aus dem Öffnungswinkel α nach der Formel für die Kugelkappe berechnet:
Ω = 2π (1 - cos (α/2))
Bild 1
Für die Kugelkappe gilt (siehe oben): ΔOK = 2πrh = 2πr · r · (1 - cos φ).
Der Winkel φ ergibt sich nach Bild 1
cos φ = r/R = cos 81,3°
ΔOK / OK = (1 - cos φ ) / 2 = (1 - cos 81.3°)/2 = 0.42436 = 42.436 % (der Erdoberfläche).
Als Raumwinkel ausgedrückt ist dies: Ω = 4π · ΔOK / OK = 4π · 0.42436 = 5.33269 sr.
Der Öffnungswinkel α des Strahlungskegels ergibt sich aus Bild 1:
sin α/2 = r/R = 6378009 / 42162525 = 0,151271988573 = sin 8,70064734693°
α = 2 arcsin (r/R) = 17,4012946939°
Ω = 2π (1 - cos (α/2)) = 0,0723057796788 (Raumwinkel des Strahlungskegels)
Der Raumwinkel der gesamten Kugeloberfläche ist 4π.
Wenn die gesamte Sendeleistung des Satelliten nicht kugelförmig in den Raum abgestrahlt wird, sondern bei gleicher Sendeleistung durch eine Parabolantenne zu einem Strahlungskegel gebündelt wird, dann ist die Empfangsfeldstärke an einem bestimmten Ort im Strahlungskegel 4π /0,0723057796788 = 173,7948-mal höher als bei kugelförmiger Abstrahlung.
Kugelzweiecke entstehen auf der Kugeloberfläche, wenn sich zwei Kugel-Großkreise schneiden. Wenn man die beiden Punkte, wo sich diese Großkreise schneiden, durch eine Linie (= Durchmesser) verbindet, dann entsteht die Achse des Kugelzweiecks, die durch den Kugelmittelpunkt geht. Den Winkel α, den das Kugekzweieck beim Austritt der Achse bildet, nennt man Öffnungswinkel.
Betrachtet man zwei Kugelzweiecke (Öffnungswinkel α1 und α2), deren Achsen senkrecht aufeinander stehen, so erhält man aus der Überschneidung der beiden Kugelzweiecke ein sphärisches Rechteck (Kugelrechteck) auf der Oberfläche der Kugel (siehe die grüne Fläche in Bild 2). Das Kugelrechteck wird von den 4 Großkreisen der beiden Zweiecke begrenzt. Die Eckwinkel dieses Kugelrechtecks auf der Kugeloberfläche sind wegen der Wölbung größer als 90°.
Die Ebenen der 4 begrenzenden Großkreise schneiden aus der Kugel eine Pyramide heraus, die das Kugelrechteck als (gewölbte) Grundfläche und den Mittelpunkt der Kugel als Spitze hat. Die Schnittflächen senkrecht zur Pyramidenachse sind ebene Rechtecke, wenn ihr Abstand von der Pyramidenspitze kleiner ist als r · cos(α/2) des größeren Öffnungswinkels, also sie sich nicht mit der Grundfläche (dem Kugelrechteck) schneiden.
Bild 2
In Bild 2 zeigt die Ansicht von vorne den Blick senkrecht zur Ebene, die beide Zweieckachsen aufspannen.
Die Ansicht von links zeigt die Seitenansicht in Richtung der waagrechten Zweieckachse (blaues Zweieck).
Die Ansicht von oben zeigt die Draufsicht in Richtung der senkrechten Zweieckachse (gelbes Zweieck).
Bekannt sind meist die Bogenlängen b1 und b2 der Mittellinien des Kugelrechtecks oder die Öffnungswinkel α1 und α2 der beiden Kugelzweiecke.
Diese Winkel werden im Bogenmaß (rad) gebraucht, dann schreibt man sieBekannt sind folgende mathematischen Zusammenhänge:
Wenn α1 < 180° und α2 < 180° gelten, dann wird der Raumwinkel des oben definierten Kugelrechtecks durch folgende Formel genau berechnet:
Ω =
oder
Ω =Für kleine Öffnungswinkel (α < 3°) kann man die Wölbung der Fläche vernachlässigen, da für kleine Winkel der Sinuswert dem Bogenmaß annähernd gleich ist.
Man kann dann folgende Näherungsformel verwenden:
Ω =
Die Sonne (Radius = 696260 km, Durchmesser der Erde = 6378,009 km, Entfernung Sonne-Erde = 149597870 km) bestrahlt mehr als 50 % der Erdoberfläche, nämlich 50.23 % = 6.312 sr (Refraktion nicht berücksichtigt!). Diese Tatsache ergibt sich daraus, dass der Durchmesser der Sonne größer ist als der Durchmesser der Erde. Der Winkel φ ist dann größer als 90°. Der Leser möge diese Zahl nachrechnen.
Mit der Formel Ω = ΔOK / r2 kann für jede beliebige Teilfläche ΔOK einer Kugeloberfläche, unabhängig von ihrer Form, der Raumwinkel berechnet werden.
Ist nur der Öffnungswinkel α eines Strahlungskegels (siehe Bild 1) gegeben, dann ist der Raumwinkel Ω = 2π (1 - cos (α/2))Zwei häufige Formen, die Kugelkappe und das Kugelrechteck, sind in diesem Beitrag behandelt worden.
Für alle anderen Formen muss man den Flächeninhalt der gewölbten Teilfläche individuell berechnen. Man kann dazu die Formeln der sphärischen Trigonometrie verwenden.
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