Rückwärtseinschneiden

Das Rückwärtseinschneiden ist nicht nur für Vermessungsingenieure, sondern auch für den Wanderer interessant,
der mit topografischer Karte, einem Messlineal, einem Winkelmesser und einem wissenschaftlichen HP-Taschenrechner ausgerüstet ist.

Verfasser: Otto Praxl

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Einleitung

Vorwärtseinschneiden und Rückwärtseinschneiden sind zwei Verfahren in der Vermessungskunde, um von lagemäßig bekannten Punkten in der Natur einen neuen Punkt, der lagemäßig nicht bekannt ist ( Neupunkt genannt), der Lage nach zu bestimmen und einzumessen. Die Richtungen "vorwärts" und "rückwärts" werden hier in der Weise verwendet, dass man "vorwärts" ins unbekannte Gelände schreitet, und "rückwärts" auf das bereits vermessene oder bekannte Gebiet blickt.

Während man sich beim Vorwärtseinschneiden zweier lagemäßig bekannter, zugänglicher Punkte bedient und von dort aus den (nicht unbedingt zugänglichen) Neupunkt anpeilt (Methode der Dreiecksbestimmung aus Seitenlänge und zwei anliegenden Winkeln), befindet man sich beim Rückwärtseinschneiden am (zugänglichen) Neupunkt und peilt rückwärts drei lagemäßig bekannte (nicht unbedingt zugängliche) Punkte an.

Bei den Messungen werden alle Längen und Winkel auf eine horizontale Ebene bezogen, bei Schrägmessungen rechnet man die Werte vor der Berechnung auf diese waagrechte Ebene um.

Hier wird nicht mit Koordinaten, sondern nur mit Längen und Winkeln gearbeitet.

Das Prinzip des Rückwärtseinschneidens

Mit dem hier zur Verfügung gestellten HP-Taschenrechnerprogramm RWE (siehe unten) für den HP49G/49g+/50G kann der Anwender die Entfernung von seinem Standpunkt zu drei lagemäßig bekannten, auf der Karte verzeichneten Punkten (z.B. Bergspitzen, Kirchtürme) berechnen und damit seinen (vielleicht lagemäßig nicht bekannten) Standort auf der Karte bestimmen, wenn er die Winkel zwischen diesen bekannten Punkten von seinem Standort aus gemessen und die Abstände der bekannten Punkte der Karte entnommen hat.

Die nachfolgende Zeichnung zeigt diese Situation.

Erläuterung:

• Die drei  Punkte P₁, P₂ und P₃ sind vom Neupunkt P₄ aus sichtbar.
• Die Längen L₁ und L₂ sind bekannt oder werden aus der Karte bestimmt.
• Die beiden  Winkel  α₁ und α₂ am Neupunkt P₄ werden durch Peilung nach P₁, P₂ und P₃ gemessen.
• Der dritte Winkel α₃ bei P₂ wird aus der Karte gemessen oder ist anderweitig genau bekannt.

Der Winkel α₃ bei P₂

• ist positiv, wenn der Streckenzug L₁ L₂ bei P₂ gegenüber dem Neupunkt konvex ist, also zum Neupunkt hin geknickt ist,
• ist negativ, wenn der Streckenzug L₁ L₂ bei P₂ gegenüber dem Neupunkt konkav ist (siehe eingezeichnete gestrichelte Variante)
• ist Null, wenn P₁, P₂ und P₃ auf einer Geraden liegen.

Etwas graue Theorie nur für Interessierte: Da hier die Länge einer bekannten Strecke und der dieser Strecke gegenüberliegende Winkel beim Neupunkt für eine Dreiecksbestimmung nicht genügen (für ein Dreieck müssen drei Werte gegeben sein), muss ein zweites Dreieck hinzugenommen werden. Die Punkte P1, P2 und P4 und die Punkte P2, P3 und P4 bilden diese beiden Dreiecke und liegen jeweils auf einer Kreislinie. Beide Kreislinien schneiden sich in den Punkten P2 und P4. Das Programm berechnet diese beiden Kreise und die dazu gehörigen Sehnen und Winkel. Ein Sonderfall tritt ein, wenn die Summe der drei eingegebenen (in der Zeichnung hellgrün gekennzeichneten) Winkel gleich Null ist. Die Mittelpunkte der beiden Kreise und der Punkt P2 liegen dann auf einer Geraden, die Kreise berühren sich nur im Punkt P2. Für diesen Fall gibt es keine Lösung, deshalb wird dieser Fall vom Rechner nicht zugelassen. x2 ist die gemeinsame Sehne für beide Kreise. Die Winkel bei P1 und P3, der Abstand a der Mittelpunkte und die Radien r1 und r2 der beiden Kreise werden vom Rechner als Variablen ausgegeben, damit man eine maßstabsgetreue Zeichnung machen kann, wenn es nötig sein sollte.

Das HP-Taschenrechnerpogramm RWE

Das Programm RWE.txt steht als Einzelprogramm zur Verfügung. Das Programm läuft im RPN-Modus.

Das Programm sichert zu Beginn die aktuellen Flageinstellungen des HP-Taschenrechners und stellt sie am Schluss der Berechnung wieder her. Es verändert auch den Stack nicht.

Nach dem Aufruf von RWE erhält man eine Aufforderung, die Längen und Winkel einzugeben (nachfolgend gezeigtes linkes Bild). Zur Erleichterung der Eingabe legt es Variablen mit den entsprechenden Namen für die einzugebenden Winkel und Längen (siehe rechtes Bild) an, die mit Vorgabewerten für ein Beispiel belegt sind. Diese Werte überschreibt man einfach mit den gewünschten Werten und startet das Programm noch einmal . Man kann aber auch mit den im Programm vorhandenen Vorgabewerten rechnen, indem man nochmals RWE drückt; aber man sollte sich nicht wundern, die Zahl 60 kommt ziemlich oft im Ergebnis vor. Das Beispiel besteht nämlich aus zwei gleichseitigen Dreiecken (Sonderfall), die von den vier Punkten P₁ bis P₄ gebildet werden.

Eingabehinweise:

Die in obigem Bild 2 gezeigten Variablen werden mit den gewünschten Eingabewerten überschrieben: Die drei Winkel α₁,α₂ und α₃ in der obigen Zeichnung werden in Altgrad [°] in den Rechner eingegeben. Für die beiden Längen L₁ und L₂ kann man eine beliebige Längeneinheit wählen, das Ergebnis enthält nur Zahlen ohne Maßeinheit.

Das Programm überprüft die Eingaben auf Plausibilität (zulässiger Zahlenbereich und Variablentyp, falsche Werte, z.B. Text) und fordert bei falschen Eingaben zur Korrektur auf. RWE muss dann erneut gestartet werden. Ist der Rechner mit den Eingaben einverstanden, dann liefert er anschließend die Ergebnisse.

Ergebnisse:

Als Ergebnis werden die Eingaben und die drei berechneten Abstände x₁, x₂ und x₃ der Punkte P₁, P₂ und P₃ vom Neupunkt angezeigt (siehe Bild 3). Diese stehen auch in den gleichnamigen Variablen zur Verfügung (siehe Bild 4). Der Rechner legt noch einige Variablen mit Hilfswerten an, die nur theoretische Bedeutung haben (siehe Zeichnung und Erläuterung oben). Mit LOE kann man alle Variablen löschen und den Originalzustand wieder herstellen.

Genauigkeit

Extreme Eingabewerte vermeiden!

Wenn die Dreiecke P₁ P₂ P₄ und P₂ P₃ P₄ zu spitze Winkel haben, dann kann das Ergebnis ungenau werden. Die beiden Strecken L₁ und L₂ sollten nicht zu schräg zum Neupunkt P₄ liegen, d.h. die Peilwinkel α₁ und α₂ sollten nicht zu klein sein, dürfen aber größer als 90° sein. Wenn diese Winkel mit amateurmäßigen Mitteln (Kompass-Skala, Winkelmesser, Peildreiecke auf Tisch oder auf Papier) gemessen werden, sollten sie nicht kleiner als 10° sein, damit sich die unvermeidlichen Messungenauigkeiten nicht extrem auswirken.

Wenn die Winkel mit professionellen Geräten (Theodolite) gemessen werden, ist das Ergebnis im Rahmen der im HP-Taschenrechner verfügbaren Genauigkeit für die normale berufliche Arbeit ausreichend genau.

Der Wanderer, der die Winkel mit amateurmäßigen Mitteln nur ungenau bestimmen kann, bekommt ebenfalls für seine Eingaben genau berechnete Ergebniswerte, die jedoch nicht genau mit der Natur übereinstimmen, weil die Eingabewerte nur Näherungen sind.

© 2011 Otto Praxl. Alle Rechte vorbehalten.

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